Apuntes de dominios de funciones por tipos (CIENCIAS).

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Ejercicios resueltos

Aquí vamos a explicar la teoría de los dominios de funciones reales de variable real. Lo primero en lo que tenemos que pensar es:

¿Que es el dominio de una función real de variable real?

El dominio de una función se define como el conjunto de números que, al introducirlos en la variable de una función, nos ofrece un resultado que pertenece al conjunto de los números reales, es decir, que en la calculadora al meter este número no nos da error.

Esto que hemos explicado hace que no existan cosas como un número entre cero, una raíz cuadrada negativa, el logaritmo de cero…

Ejemplos

$\frac{3}{0}$ , $\sqrt{-2}$ , $\ln{0}$ … Estos números no existen en el conjunto de los números reales.

Según el tipo de función que tengamos vamos a calcular el dominio de una forma u otra. Vamos a analizar el dominio para cada tipo de función en concreto.

Dominios según el tipo de función.

Funciones polinómicas.

Una función polinómicas es una función del tipo:

$f(x)=P(x)$

Funciones de este tipo son:

$f(x)=x^2+3x$

$f(x)=x^4-2x^3+x^2-5$

$f(x)=\dfrac{5}{2}x^3-x+\dfrac{2}{3}$

$f(x)=\dfrac{x^2+3}{5}$

…

La última función que he puesto de ejemplo es polinómica porque en el denominador no tenemos un polinomio, sino que hay un número.

Una función polinómica no nos va a dar nunca un resultado que nos de error en la calculadora a no ser que nosotros mismos metamos un valor en la función que ya por si solo no existe y eso no vale. Esto significa que el dominio de una función polinómica siempre va a ser todos los números reales:

$Dom(f)=\Re$

Ejemplo

$f(x)=\dfrac{x^2+3}{5}$

Esta función es polinómica, por lo que su dominio es: $Dom(f)=\Re$

Funciones racionales.

Una función racional es una división de dos polinomios, es decir, es una función del tipo:

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

Funciones de este tipo son:

$f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$

$f(x)=\frac{1}{x-3}$

$f(x)=\frac{x-1}{x}$

…

Cuando tenemos una función racional, el denominador no puede ser cero, por lo que el dominio va a ser todos los reales menos los números que al sustituirlos en la en la $x$ el denominador sea cero.

$Dom(f)=\Re-\{x\epsilon \Re / Q(x)=0\}$

Ejemplo

$f(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2-1}$

Igualo el denominador a cero y resuelvo la ecuación para obtener los números que hacen que el denominador sea cero.

$x^2-1=0\rightarrow x^2=1\rightarrow x=\pm\sqrt{1}=\pm 1$

$Dom(f)=\Re-\{\pm 1\}$

Funciones radicales.

Las funciones radicales son funciones del tipo:

$f(x)=\sqrt[n]{P(x)}$

Funciones de este tipo son:

$f(x)=\sqrt{x}$

$f(x)=\sqrt[4]{x^2+2}$

$f(x)=\sqrt[5]{\dfrac{x^3+x^5}{3}}$

Dentro de las funciones radicales hay dos tipos: las de índice impar y las de índice par. Dependiendo del tipo que sea tenemos unas restricciones u otras para hallar el dominio. Si las analizamos por separado tendríamos:

Con índice impar.

Son funciones que tienen raíces cúbicas, quintas, séptimas… y su dominio son todos los reales.

$Dom(f)=\Re$

Ejemplo

$f(x)=\sqrt[3]{x^2-5}$

Como el dominio de una función radical es siempre $\Re$

$Dom(f)=\Re$

Con índice par.

Son funciones que tienen raíces cuadradas, cuartas, sextas… y el dominio son todos los números reales que cumplen que el polinomio de dentro de la raíz sea mayor o igual que cero.

$Dom(f)=\{ x\epsilon \Re/P(x)\geq 0\}$

Si no recuerdas como hacer inecuaciones repásalas antes de empezar a calcular dominios de funciones.

Apuntes y ejercicios resueltos de inecuaciones

Ejemplo

$f(x)=\sqrt{4-x^2}$

Las raíces de índice par no pueden tener un radicando negativo, por lo que cojo lo de dentro de la raíz y resuelvo la inecuación correspondiente.

$4-x^2\geq 0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado y definimos el dominio.

$Dom(f)=[-2,2]$

Funciones logarítmicas.

Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:

$f(x)=\log P(x)$

Funciones de este tipo son:

$f(x)=\ln x$

$f(x)=\ln (x-3)$

$f(x)=\log_2 (x^2-4)$

Para calcular el dominio de una función logarítmica, tenemos que saber que los logaritmos no existen para los número negativos ni para el cero. Por esto el dominio de una función logarítmica son todos los números reales que hacen que el argumento (lo de dentro) del logaritmo sea mayor que cero.

$Dom(f)=\{x\epsilon\Re/P(x)>0\}$

Ejemplo:

$f(x)=\ln (x^2-5x+6)$

Para hallar el dominio de una función logarítmica tenemos que resolver la siguiente inecuación con una tabla de signos como en las radicales pero cambiando el signo por un mayor, ya que el cero no es válido.

$x^2-5x+6>0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado y definimos el dominio.

$Dom(f)=(-\infty,2)\cup(3,\infty)$

Funciones exponenciales.

Las funciones exponenciales son funciones del tipo:

$f(x)=a^{P(x)}$

Funciones de este tipo son:

$f(x)=e^{x+2}$

$f(x)=2^{5x^2-3}$

$f(x)=e^{x}$

Una función exponencial no nos suele dar problemas a no ser que el exponente sea una función que si causa problemas, por lo que el dominio de una función exponencial es generalmente todos los números reales.

$Dom(f)=\Re$

Ejemplo:

$f(x)=e^{x^3-4}$

Como la función exponente es una polinómica su dominio son todos los reales.

$Dom(f)=\Re$

Funciones trigonométricas.

Función seno y coseno.

Las funciones seno y coseno son funciones del tipo:

$f(x)=\sin P(x)$

$f(x)=\cos P(x)$

Funciones de este tipo son:

$f(x)=\sin (x+2)$

$f(x)=\cos (x^3-3x)$

$f(x)=\sin (x^5)$

Las funciones seno y coseno no causan ningún problema, por lo que su dominio es siempre todos los reales.

$Dom(f)=\Re$

Ejemplos:

$f(x)=\sin (x^4-3)$

Como es una función seno su dominio es todos los reales porque la función de dentro del seno es una polinómica y su dominio también es todos los reales.

$Dom(f)=\Re$

$f(x)=cos (x^3)$

Como es una función coseno su dominio es todos los reales porque la función de dentro del coseno es una polinómica y su dominio también es todos los reales.

$Dom(f)=\Re$

Función tangente.

Las funciones tangente son aquellas que tienen la siguiente forma:

$f(x)=\tan P(x)$

La tangente no existe para los valores $\pi/2$ , $3\pi/2$ y sus múltiplos, es decir, el dominio son todos los reales menos los números que hacen que el resultado de $P(x)$ sea igual a estos números.

$Dom(f)=\Re-\{x\epsilon \Re/P(x)=\pi/2+k\pi \}$

Ejemplo

$f(x)=\tan (x^2+3)$

Al ser una función tangente igualo lo de «dentro» de la tangente a $\pi/2+k\pi$ y resuelvo la ecuación.

$x^2+3=\pi/2+k\pi$ $\Longrightarrow$ $x^2=\dfrac{\pi}{2}-3+k\pi$ $\Longrightarrow$ $x^2=\dfrac{-5\pi}{2}+k\pi$ $\Longrightarrow$

$\Longrightarrow$ $x=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}-3+k\pi}$

Una vez que tenemos los valores de $x$ para los que nos da «error» la función los excluimos de todos los reales en el dominio.

$Dom(f)=\Re-\{\sqrt{\dfrac{\pi}{2}-3+k\pi}\}$

Funciones mix.

En muchas ocasiones no tenemos un polinomio dentro de la función, sino que tenemos otra función y esa función nos causa problemas. Vamos a intentar amoldar nuestra mente para ver restricciones y no reglas en los dominios.

Los dominios según restricciones se pueden recoger en cuatro reglas:

En una fracción el denominador no puede ser cero.
«Dentro» de una raíz con índice par no puede haber un negativo.
«Dentro» de un logaritmo no puede haber un número negativo ni el cero.
Lo de «dentro» de la tangente no puede ser un múltiplo de $\pi/2$ .

Funciones de este tipo son:

$f(x)=2^{\dfrac{x-2}{x}}$

$f(x)=\sqrt{\dfrac{x-3}{x^2-1}}$

$f(x)=\log \sqrt{\dfrac{x^2-1}{x+2}}$

Para hallar el dominio de estas funciones debemos pensar en las restricciones que nos supone cada tipo de función.

Vamos a trabajar varios ejemplos para poder tener una base sobre la que trabajar.

Ejemplo 1

$f(x)=2^{\frac{x-2}{x^2-5x+6}}$

En este caso tenemos un función exponencial con otra función (en este caso racional) como exponente. La función exponencial no nos supone restricción, pero la racional sí. Esto quiere decir que, aplicando la restricción de la racional, el denominador no podría ser cero.

Igualamos a cero el denominador y quitamos esos números.

$x^2-5x+6=0$ $\Longrightarrow$ $x=2$ $x=3$

$Dom(f)=\Re-\{2,3\}$

Ejemplo 2

$f(x)=\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}$

En este caso la función no necesita ninguna restricción especial, dado que al ser radical hacemos la inecuación y al resolverla ya eliminamos los valores que anulan el denominador.

$\dfrac{x-3}{x+1}\geq 0$

Tabla de signos inecuación. Apuntes de dominios

$Dom(f)=(-\infty,-1)\cup[3,\infty)$

Ejemplo 3

$f(x)=\dfrac{\ln{(x^2-4x+4)}}{x^2-9}$

En esta función la función del logaritmo tiene que ser mayor que cero y el denominador tiene que ser distinto de cero.

$x^2-4x+4>0$

$x\epsilon \Re$

$x^2-9=0$

$x=\pm3$

Si juntamos las conclusiones obtenemos que el dominio:

$Dom(f)=\Re-\{\pm3\}$

Funciones a trozos.

Las funciones a trozos tienen una forma muy característica. Están formadas por otras funciones y utilizan una función para un conjunto de valores de $x$ y otra u otras para otro conjunto de valores de $x$ . Su forma es:

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} g(x) & \text{si } x<a \\ \\ h(x) &\text{si } x\geq a\end{matrix}\right.$

Funciones de este tipo son:

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} x+3 & \text{si } x<-1 \\ \\ x^2-4 &\text{si } x\geq -1\end{matrix}\right.$

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} x+2 & \text{si } x<0 \\ \\ \ln(x^2-4) &\text{si } x\geq 0\end{matrix}\right.$

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x+3}{x^-1} & \text{si } x<-2 \\ \\ \sqrt{x+1} & \text{si }-2\leq x\leq 0\\ \\x^2-4 &\text{si } x> 0\end{matrix}\right.$

Para hallar el dominio de una función a trozos tenemos que analizar cada trozo por separado. Lo mejor para entender esto es con un ejemplo:

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} x+2 & \text{si } x<0 \\ \\ \ln(x^2-4) &\text{si } x\geq 0\end{matrix}\right.$

El primer trozo es una función polinómica que cubre el intervalo $(-\infty, 0)$ , y el segundo función es logarítmica y cubre el intervalo $(0,\infty)$ .

El dominio del primer trozo es todos los reales por ser polinómica y para hallar el dominio del segundo trozo tenemos que resolver la inecuación correspondiente.

$x^2-4>0$

Esto nos dice que es dominio de este trozo es: $Dom(f)=(-\infty, -2)\cup(2, \infty)$ . Como este solo cubre el intervalo $(0,\infty)$ el dominio quedaría:

$Dom(f)=(-\infty, 0)\cup(2,\infty)$

Ejemplo 1

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} x^3-12 & \text{si } x<-1 \\ \\ e^{\sqrt{x-2}} &\text{si } -1\leq x\leq 0\\\\ \dfrac{x-1}{x^2-4} &\text{si }x>0\end{matrix}\right.$

El primer trozo no tiene restricciones. En el segundo $x-2$ tiene que ser mayor o igual que cero y en el tercero $x^2-4$ no puede ser cero.

El segundo trozo abarca el intervalo $(-1, 0)$ y los valores para lo que tiene dominio esta función son $x\geq 2$ . Esto supone que en el intervalo $(-1, 0)$ no hay dominio.

Para el tercero, que abarca el intervalo $(0, \infty)$ , se tiene que cumplir que $x\neq \pm 2$ , pero el valor de $-2$ no está incluido en este trozo, por lo que solo excluimos el $2$

Si unimos todo nos quedría que el dominio es:

$Dom(f)=(-\infty, -1)\cup(0, 2)\cup(2, \infty)$

Ejemplo 2

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^2-1}{x^3-27} & \text{si } x<-2 \\ \\ \sqrt{2x-6} &\text{si } -2\leq x\leq 2\\\\ x^2+3x &\text{si }x>2\end{matrix}\right.$

El primer trozo es una función racional, por lo que $x^3-27\neq 0$ , el segundo es una radical y $2x-6\geq 0$ y el tercero es una polinómica, por lo que no tiene restricciones.