Energía en el campo eléctrico y movimiento de cargas.

La energía en el campo eléctrico es muy parecida a la energía en el campo gravitatorio. En el caso del campo eléctrico también se utiliza para analizar el movimiento de las cargas. En este tema se ven:

La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa.
Energía potencial.
Potencial eléctrico.

Principio de superposición para la energía potencial y el potencial.
Trabajo en el campo eléctrico.
Movimiento de cargas en el campo eléctrico.

Fuerza y campo eléctrico

Ley de Gauss

Formulario

Energía en el campo eléctrico.

La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa.

Al igual que el campo gravitatorio el campo eléctrico también es conservativo y , por lo tanto, la fuerza eléctrica es conservativa. Es importante recordar que es una fuerza conservativa.

Energía potencial.

Si la fuerza eléctrica es conservativa entonces existe una energía potencial eléctrica que se define como:

La energía potencial eléctrica es la energía o trabajo necesario para llevar una carga hasta un punto situado a una distancia r de la carga que genera el campo.

La energía potencial eléctrica se puede expresar matemáticamente para cargas puntuales mediante la siguiente expresión:

$E_p=k\dfrac{qq'}{r}$

Las unidades de la energía potencial son los julios [J].

Ejercicio de energía potencial eléctrica.

Considérese una carga $q_1=6\mu C$ , situada en el origen de coordenadas. Determine el trabajo necesario para llevar una carga $q_2=10\mu C$ desde una posición muy alejada, digamos $x=\infty$ , hasta la posición $x=10m$

Dato: constante de la ley de Coulomb $k = 9\cdot10^9 N m^2 C^{-2}$ .

Solución

Aplicando la definición de energía potencial, se puede decir que:

$W=k\dfrac{qq'}{r}$

Sustituyendo en esta expresión se obtiene que el trabajo necesario es el siguiente.

$W=9\cdot10^9 N m^2 C^{-2}\dfrac{6\cdot10^{-6}C\cdot 10\cdot10^{-6}C}{10m}=0'054J$

Potencial eléctrico.

El potencial eléctrico es una magnitud escalar también y las unidades en las que se mide son los julios por coulombio [J/C] y se calcula así:

$V=\dfrac{kq}{r}$

El potencial es la energía por unidad de carga necesaria para trasladar un objeto desde un punto A a un punto B.

Las unidades del potencial eléctrico son los voltios $[V]$

El signo del potencial depende única y exclusivamente de la carga $q$ . Si la carga es negativa, el potencial será negativo, mientras que si la carga es positiva el potencial será positivo.

Cuando existe un campo constante en una región se puede calcular el potencial eléctrico mediante la siguiente expresión:

$\Delta V=E\cdot d$

En esta expresión $d$ representa la distancia entre los puntos en los que se mide el potencial.

Ejercicio potencial eléctrico.

Una carga puntual, $q_1= 3 \mu C$ se encuentra situada en el punto $(4,2) cm$ . Determine el potencial electrostático en el punto $(8,6) cm$ .

Dato: constante de la ley de Coulomb $k = 9\cdot10^9 N m^2 C^{-2}$ .

Solución

En este ejercicio se pide calcular el potencial generado por una carga. Como los datos se dan en coordenadas hay que obtener la distancia entre la carga y el punto en el que se quiere calcular el potencial. Para ello se obtiene el vector $\vec r$ restando el punto donde se quiere calcular el potencial y el punto en el que se sitúa la carga.

$\vec r=(8,6)-(4,2)=(4,4)$

Una vez calculado el vector se obtiene su módulo, que será la distancia entre los dos puntos.

$r=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2m$

Después se introducen los datos en la fórmula del potencial y se obtiene el valor.

$V=k\dfrac{q}{r}=9\cdot10^9 N m^2 C^{-2}\dfrac{3\cdot10^{-6}}{4\sqrt2m}=4772'97V$

Principio de superposición para la energía potencial y el potencial.

Al igual que para el campo y para la fuerza, para la energía potencial y el potencial también se aplica el principio de superposición.

La energía potencial es la suma de las energías individuales.

$E_{p_T}=E_{p1}+E_{p2}+E_{p3}...$

El potencial total en un punto es la suma cada uno de los potenciales generados por cada una de las cargas en el mismo punto.

$V_T=V_1+V_2+V_3…$

Ejercicio con el principio de superposición.

Dos cargas eléctricas puntuales A y B de valores $q_A = +5 \eta C$ y $q_B = -5 \eta C$ , están situadas en el plano xy en las posiciones $(-4,0)cm$ y $(4,0)cm$ , respectivamente. Determine el potencial eléctrico creado por esta distribución de cargas en el origen de coordenadas.

Dato: constante de la ley de Coulomb $k = 9\cdot10^9 N m^2 C^{-2}$ .

Solución

Lo primero es obtener la distancias a las que están cada una de las cargas del punto en el que se quiere calcular el potencial. En este caso la distancia es la misma para las dos cargas.

$r_1=r_2=0'04m$

Tras obtener las distancias se calculan los potenciales generados por cada una de las cargas uno a uno sustituyendo los datos en la expresión del potencial eléctrico.

$V_1=k\dfrac{q_1}{r_1}=9\cdot10^9 N m^2 C^{-2}\dfrac{5\cdot10^{-9}C}{0'04m}=1125V$

$V_2=k\dfrac{q_2}{r_2}=9\cdot10^9 N m^2 C^{-2}\dfrac{-5\cdot10^{-9}C}{0'04m}=-1125V$

Tras esto se aplica el principio de superposición para el potencial eléctrico.

$V_T=V_1+V_2=1125V-1125V=0V$

Trabajo en el campo eléctrico.

El trabajo necesario para trasladar una carga desde un punto A hasta un punto B se puede desarrollar con la variación de energía potencial con la propia definición de energía potencial.

$W_{A\rightarrow B}=-\Delta E_p=E_p(A)-E_p(B)$

Por otro lado, la energía potencial y el potencial eléctrico pueden relacionarse fácilmente mediante sus expresiones.

$E_p=k\dfrac{qq'}{r}$

$V=k\dfrac{q}{r}$

Observándolas se puede llegar a la siguiente expresión que relaciona ambas magnitudes:

$E_p=q'\cdot V$

Si utilizamos variación de la energía potencial tendríamos:

$\Delta E_p=q'\Delta V$

Esto último significa que el trabajo también puede expresarse en función de la diferencia de potencial entre dos puntos.

$W=-\Delta E_p=-q'\Delta V$

Ejercicio de cálculo del trabajo.

Dos cargas puntuales de valores $q_1 = 3 \eta C$ y $q_2 = -5 \eta C$ están situadas en los puntos $(0,6)m$ y $(8,6)m$ , respectivamente. Calcule el trabajo realizado por el campo para trasladar un electrón desde el origen de coordenadas hasta el punto $(4,3)m$ .

Datos: constante de la ley de Coulomb $k= 9\cdot10^9 N m^2 C^{-2}$ ; valor absoluto de la carga del electrón $e = 1,6\cdot10^{-19} C$ .

Solución

El primer paso sería calcular las distancias.

$r_{1o}=6m$

$r_{2o}\sqrt{6^2+8^2}=10m$

$r_{1f}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5m$

$r_{2f}\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5m$

Para calcular el trabajo existen varias vías:

Cálculo del trabajo con la diferencia de energía potencial.

Se calcula la energía potencial y final por separado.

$E_{p1o}=k\dfrac{q_1q'}{r_{1o}}=$

$E_{p1o}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{3\cdot10^{-9}C\cdot(-1,6)\cdot10^{-19}C}{6m}=-7'2\cdot10^{-19}J$

$E_{p2o}=k\dfrac{q_2q'}{r_{2o}}=$

$E_{p2o}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{-5\cdot10^{-9}C\cdot(-1,6)\cdot10^{-19} C}{10m}=7'2\cdot10^{-19}J$

$E_{p1f}=k\dfrac{q_1q'}{r_{1f}}=$

$E_{p1f}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{3\cdot10^{-9}C\cdot(-1,6)\cdot10^{-19}C}{5m}=-8'64\cdot10^{-19}J$

$E_{p2f}=k\dfrac{q_2q'}{r_{2f}}=$

$E_{p2f}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{-5\cdot10^{-9}C\cdot(-1,6)\cdot10^{-19} C}{5m}=1'44\cdot10^{-18}J$

Se juntan y se aplica la fórmula del trabajo.

$E_{po}=E_{p1o}+E_{p2o}=-7'2\cdot10^{-19}J+7'2\cdot10^{-19}J=0J$

$E_{pf}=E_{p1f}+E_{p2f}=-8'64\cdot10^{-19}J+1'44\cdot10^{-18}J=5'76\cdot10^{-19}J$

$W=-\Delta E_p=E_{po}-E_{pf}=0J-5'76\cdot10^{-19}J=-5'76\cdot10^{-19}J$

Cálculo del trabajo con la diferencia de potencial.

Se calculan los potenciales por separado.

$E_{p1o}=k\dfrac{q_1}{r_{1o}}=$

$V_{1o}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{3\cdot10^{-9}C}{6m}=4'5V$

$V_{2o}=k\dfrac{q_2}{r_{2o}}=$

$V_{2o}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{-5\cdot10^{-9}C}{10m}=-4'5V$

$V_{1f}=k\dfrac{q_1}{r_{1f}}=$

$V_{1f}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{3\cdot10^{-9}C}{5m}=5'4V$

$V_{2f}=k\dfrac{q_2}{r_{2f}}=$

$V_{2f}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{-5\cdot10^{-9}C}{5m}=-9V$

Se juntan y se aplica la fórmula del trabajo.

$V_{o}=V_{1o}+V_{2o}=4'5V-4'5V=0V$

$E_{pf}=E_{p1f}+E_{p2f}=5'4V-9V=-3'6V$

$W=-\Delta E_p=E_{po}-E_{pf}=1,6\cdot10^{-19}C\cdot(0V+3'6V)=-5'76\cdot10^{-19}J$

Movimiento de cargas en el campo eléctrico.

En este punto de movimiento de carga en un campo eléctrico se van a desarrollar expresiones solamente válidas para regiones en las que existe un campo eléctrico constanate.

Aceleración en el campo eléctrico.

La fuerza eléctrica se puede obtener mediante su relación con el campo eléctrico.

$\vec F_e=q'\cdot\vec E$

Si se aplica la segunda ley de Newton y se despeja de la ecuación la aceleración se puede llegar a obtener una de las expresiones que se tienen para la aceleración debida a un campo eléctrico.

$m\cdot\vec a=q'\cdot\vec E$

$\vec a=\dfrac{q'}{m}\cdot\vec E$

Si existe un campo en sentido derecho del eje x y se quiere obtener el sentido de la aceleración que sufrirá una carga positiva, este será el mismo que el campo eléctrico. Si, por el contrario, se tratara de una carga negativa, la aceleración tendrá sentido contrario al campo eléctrico.

Ejercicio resuelto.

Se crea un campo eléctrico uniforme de intensidad $6\cdot10^4 N/C$ entre dos láminas metálicas planas y paralelas. Calcule la aceleración a la que está sometido un electrón situado en dicho campo.

Datos: valor absoluto de la carga del electrón $e = 1'6\cdot10^{-19} C$ ; masa del electrón $m_e = 9'1\cdot10^{ -31} kg$ .

Solución

En este ejercicio se pide calcular la aceleración que tendría un eléctrón si existe un campo eléctrico uniforme, por lo que se puede utilizar la expresión anterior.

$m_e\cdot a=q_e\cdot E$

$a=\dfrac{q_e}{m_e}\cdot E$

Si se sustituye con los datos del ejercicio se obtiene que:

$a=\dfrac{1'6\cdot10^{-19} C}{9'1\cdot10^{ -31} kg}\cdot6\cdot10^4N/C=1'055\cdot10^{16}m/s^2$

El vector aceleración es contrario al vector campo eléctrico existente entre las placas paralelas.

Aceleración en el campo eléctrico mediante la diferencia de potencial.

La aceleración también puede darse mediante el dato de la diferencia de potencial existente entre dos puntos. Se ha visto anteriormente como el campo eléctrico y el potencial pueden relacionarse, por lo que introduciendo un expresión dentro de otra se obtiene la aceleración en función de la diferencia de potencial.

$a=\dfrac{q'}{m}\cdot E$

$\Delta V=E\cdot d$

$a=\dfrac{q'\Delta V}{m\cdot d}$

Conservación de la energía en el campo eléctrico.

En el campo eléctrico es bastante común recurrir al principio de conservación de la energía mecánica para obtener información en el movimiento de cargas puntuales.

Al tratarse de una fuerza conservativa la energía mecánica se conserva.

$\Delta E_m=0$

$\Delta E_p+\Delta E_c=0$

Ejercicio resuelto.

Dos cargas puntuales iguales de $5 \eta C$ se encuentran en el plano XY en los puntos $(0,3)m$ y $(0,-3)m$ . Si se sitúa una partícula cargada de masa $3g$ y carga $3mC$ en el origen de coordenadas con una velocidad inicial de $2\vec i m/s$ , calcule la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto $(4,0)m$ .

Dato: constante de la ley de Coulomb, $k = 9\cdot10^9N m^2 C^{-2}$ .

Solución

Para realizar este ejercicio es necesario utilizar el principio de conservación de la energía mecánica.

El primer paso es calcular las distancias.

$r_{1o}=3m$

$r_{2o}=3m$

$r_{1f}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5m$

$r_{2f}=\sqrt{4^2+3^2}=5m$

Una vez calculadas las distancias, se procede a calcular las energías potenciales.

$E_{p1o}=9\cdot10^9N m^2 C^{-2}\dfrac{5\cdot10^{-9}C\cdot3\cdot10^{-3}C}{3m}=0'045J$

$E_{p2o}=9\cdot10^9N m^2 C^{-2}\dfrac{5\cdot10^{-9}C\cdot3\cdot10^{-3}C}{3m}=0'045J$

$E_{p1f}=9\cdot10^9N m^2 C^{-2}\dfrac{5\cdot10^{-9}C\cdot3\cdot10^{-3}C}{5m}=0'027J$

$E_{p2f}=9\cdot10^9N m^2 C^{-2}\dfrac{5\cdot10^{-9}C\cdot3\cdot10^{-3}C}{5m}=0'027J$

Una vez obtenidas las energías potenciales se utiliza el principio de conservación de la energía mecánica para despejar la velocidad que se pide en el ejercicio.

$\Delta E_m=0$