Inducción electromagnética. Apuntes 2º Bach y EvAU.

Un campo magnético genera una fuerza magnética sobre una carga en movimiento. Esta fuerza puede mover las cargas generando un torrente de cargas y, por lo tanto, una intensidad de corriente. este fenómeno se denomina inducción electromagnética. Para explicar este maravilloso fenómeno con multitud de aplicaciones prácticas (motor eléctrico, transformador, generador de corriente…) debemos volver a utilizar el concepto de flujo que ya hemos visto en el campo eléctrico.

¿Qué es la inducción electromagnética?

La inducción electromagnética es un fenómeno por el que se genera una corriente al hacer variar el flujo de campo magnético. Para que se produzca este fenómeno se tienen que variar una de las tres magnitudes que influyen en el flujo, es decir, el campo magnético, la superficie, o el ángulo formado entre la superficie y el campo.

Este fenómeno fue investigado y estudiado por Faraday, que participó en su compresión, dotado al mundo de la gran capacidad de generar corriente alterna. Este tipo de corriente eléctrica es la que llega hasta nuestros enchufes en casa y sin ella no seríamos capaces de trasladar la corriente eléctrica desde las grandes centrales que la generan hasta nuestras casas.

Flujo de campo magnético.

El flujo de campo magnético se define de igual forma que el definido para el campo eléctrico y se mide en el Sistema Internacional en weberes (Wb). El flujo es el número de líneas de campo que atraviesan una superficie.

$\phi=\oint{\vec{B}d\vec{S}}$

Cuando se trata de un conjunto de espiras (bobina) se debe multiplicar el flujo por el número de espiras N que hay, quedando el flujo como:

$\phi=N\oint{\vec{B}d\vec{S}}$

Por lo general, la resolución de esta integral es muy simple, dado que solo hay que integras $d\vec S$ quedando el flujo como:

$\phi=\vec{B}\cdot\vec{S}=B\cdot{S}\cdot\cos{\widehat{\vec{B},\vec{S}}}$

Para una bobina:

$\phi=N\cdot\vec{B}\cdot\vec{S}=N\cdot{B}\cdot{S}\cdot\cos{\widehat{\vec{B},\vec{S}}}$

Hay ocasiones en las que es necesario desarrollar la integral, pero esto no es habitual. En cambio si hay ciertos ejercicios en los que hay que realizar el producto escalar entre el vector campo magnético y el vector superficie antes de hacer la integral. Esto ocurre en este ejercicio resuelto.

Vector superficie.

Este vector es diferencial antes de integrar, por lo que vamos a considerar que solo tiene dirección y sentido, pero una vez integrado adquiere módulo.

El módulo que adquiere este vector una vez integrado es el área de la espira, bobina …

La dirección de este vector es perpendicular a la superficie que lo genera, tal y como se ve en la imagen.

El sentido del vector es arbitrario, es decir, que podemos escoger el que queramos.

Fuerza electromotriz. Ley de Faraday.

La fuerza electromotriz es el equivalente a la diferencia de potencial entre los bornes de una pila o batería en un circuito de corriente continua de los que se hacen en tecnología de 3º de la ESO. Esta fuerza electromotriz es lo mismo que la tensión o el voltaje, por lo que se mide en el Sistema Internacional en voltios (V).

La fuerza electromotriz se define de dos formas:

$FEM=\varepsilon=-\dfrac{\Delta\phi}{\Delta{t}}$

$FEM=\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}$

La primera expresión (columna izquierda) se utiliza cuando nos dan la función flujo representada en una gráfica y tiene una forma lineal (recta) y la segunda (columna derecha) cuando no nos dan la representación, sino que tenemos que obtenerla mediante cálculos. Esta expresión se denomina también ley de Faraday gracias a su desarrollador. El signo de esta ley se incluye por el sentido de la corriente inducida en el circuito.

Para que haya una fuerza electromotriz tiene que existir un flujo que varía con el tiempo, ya que la derivada de una función constante es cero.

$\text{Si } \phi=CTE\rightarrow\varepsilon=0V$

Por último, si observamos la función flujo, podemos decir que para que esta varíe con el tiempo hay que tener una variable. Pueden variar el campo, la superficie o el ángulo.

Variación del campo.

En este tipo de ejercicios nos dicen que existe un campo variable, es decir, nos dicen que en una región del espacio hay un campo $B=3t$ ó $B=5t^2$ . Cosas de este estilo generan una fuerza electromotriz.

Para resolver estos ejercicios lo más productivo es que sigas los siguientes pasos:

1. Obtener el flujo. Generalmente el campo no nos lo dan en coordenadas, por lo que el flujo se obtiene simplemente resolviendo la integral de esta forma:

$\phi=\oint{\vec{B}}d\vec{S}=\vec{B}\cdot\vec{S}=B\cdot{S}\cdot\cos(\widehat{\vec{B},\vec{S}})$

2. Una vez obtenido el flujo se sustituyen los datos en la fórmula y se deriva respecto del tiempo para obtener la fuerza electromotriz.

Es conveniente ver los dos ejercicios resueltos que aparecen aquí abajo para que quede bien entendido. Uno es un ejercicio habitual y el otro es una excepción.

Ejercicio de fuerza electromotriz con un campo magnético variable (ejercicio habitual). INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

Un campo magnético variable en el tiempo de módulo $B=2\cos(3\pi{t}-\pi/4)T$ , forma un ángulo de 30º con la normal al plano de una bobina formada por 10 espiras de radio $r=5cm$ . Determine la fuerza electromotriz inducida en la bobina en el instante $t=2s$ .

Solución

Para obtener la fuerza electromotriz inducida en el instante $t=2s$ primero hay que obtener el flujo magnético con respecto del tiempo. Esto significa que no hay que sustituir el valor del tiempo en el flujo, ya que para obtener la fuerza electromotriz lo vamos a derivar.

$\phi=N\oint{\vec{B}d\vec{S}}=N\cdot\vec{B}\cdot\vec{S}=N\cdot{B}\cdot{S}\cdot\cos\widehat{\vec{B},\vec{S}}$

$\phi=10\cdot2\cos(3\pi{t}-\pi/4)T\cdot\pi(0'05m)^2\cdot\cos30º=\dfrac{\sqrt3}{40}\pi\cos(3\pi{t}-\dfrac{\pi}{4})Wb$

Una vez que tenemos calculado el flujo de campo magnético lo derivamos para obtener la fuerza electromotriz en función del tiempo.

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=\dfrac{3\sqrt3}{40}\pi^2\sin(3\pi{t}-\dfrac{\pi}{4})$

Ahora que tenemos la fuerza electromotriz dependiente del tiempo, sustituimos en $t=2s$ .

$\varepsilon=\dfrac{3\sqrt3}{40}\pi^2\sin(3\pi\cdot{2}-\dfrac{\pi}{4})=-0'907V$

Ejercicio de fuerza electromotriz con un campo magnético variable. MODO PRO ( resolviendo la integral). INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

Una bobina circular está formada por un hilo conductor de 25 cm de longitud que se enrolla en 5 vueltas. La bobina está situada en el plano xy con su centro en el origen de coordenadas cartesiano. En la región hay un campo magnético variable en el tiempo $\vec{B}=\left(\sin(\pi{t})\hat{i}+\cos(\pi{t})\hat{k}\right)mT$ . Calcule en el instante t = 0,25 s:

a) El flujo magnético a través de la bobina.

b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina.

Solución

a) El vector $d\vec{S}$ es perpendicular al plano en el que está la bobina, por lo que tiene dirección eje z, es decir, que $d\vec{S}=dS\text{ }\hat{k}$ . Esto hace que los vectores campo magnético y superficie sean:

$\vec{B}=(\sin(\pi{t}), 0, \cos(\pi{t}))$

$d\vec{S}=(0, 0, dS)$

Si se hace el producto escalar se obtiene como resultado:

$\vec{B}\cdot{d}\vec{S}=(\sin(\pi{t})\cdot10^{-3}, 0, \cos(\pi{t})\cdot10^{-3})\cdot(0, 0, dS)=0+0+\cos(\pi{t})\cdot10^{-3}\cdot{dS}$

Sustituyendo en la integral del flujo quedaría:

$\phi=N\cdot\oint{\vec{B}d\vec{S}}=N\cdot\oint{\cos(\pi{t})\cdot10^{-3}\cdot{dS}}$

El coseno depende del tiempo, pero la integral es respecto de la superficie, por lo que se considera constante y se saca fuera de la integral.

$\phi=N\cdot\cos(\pi{t})\cdot10^{-3}\oint{dS}=N\cdot\cos(\pi{t})\cdot10^{-3}\cdot{S}$

Como la superficie es un hilo de 25 cm que se enrolla en cinco espiras circulares, la superficie será la de un círculo. Se dividen los 25 cm de longitud del hilo entre las cinco espiras que forma obteniendo que la longitud de cada espira es de 5 cm. A partir de la fórmula de la longitud de una circunferencia obtenemos el radio. Una vez que tengamos el valor del radio obtenemos el valor de la superficie utilizando la fórmula del área del círculo.

$L=2\pi{r}=0'05m\longrightarrow{r}=\dfrac{0'05}{2\pi}=\dfrac{5}{200\pi}m$

$S=\pi{r}^2=\pi\left(\dfrac{5}{200\pi}\right)^2=2\cdot10^{-4}m^2$

Sustituyendo valor de la superficie en la expresión del flujo queda:

$\phi=N\cdot\cos(\pi{t})\cdot10^{-3}\cdot{S}=5\cdot\cos(\pi{t})\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-4}m^2=10^{-6}\cos(\pi{t})Wb$

$\phi(t=0'25s)=10^{-6}\cos(0'25\pi)Wb=7'071\cdot10^{-7}Wb$

b) Para calcular la fuerza electromotriz inducida simplemente hay que derivar el flujo y sustituir el valor del tiempo.

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=\pi\cdot10^{-6}\sin(\pi{t})V$

$\varepsilon(t=0'25s)=\pi\cdot10^{-6}\sin(0'25\pi)V=2'2\cdot10^{-6}V$

Variación de la superficie.

Estos problemas siempre incluyen una espira con una parte móvil. Generalmente la espira es cuadrada y está formada por un cable que genera tres de los cuatro lados de un cuadrado y otro que forma el cuarto lado. Este último va a moverse generalmente.

Para resolver estos ejercicios hay que tener en cuenta que la superficie de la espira va a variar teniendo en cuenta el tipo de movimiento que describa el lado móvil.

Una espira de este tipo puede ser como esta:

Espira móvil. Inducción electromagnética.

Para calcular la superficie de esta espira cuadrada se multiplica la altura (lado fijo de la espira) por la base (parte móvil). La parte móvil tiene dos opciones: que se mueva con velocidad constante en un MRU o que se mueva con una aceleración constante en un MRUA.

MRU

Si e lado móvil se mueve con una velocidad constante, la superficie se sustituiría en la expresión del flujo por:

$S=b\cdot(x_o+vt)$

Donde b es el lado fijo de la espira (se ve en el dibujo), $x_o$ es la distancia a la que se encuentra el lado móvil inicialmente y $v$ es la velocidad inicial del lado móvil.

Si nos fijamos bien hemos sustituido la base por la ecuación del movimiento en un MRU. Esto es totalmente lógico dado que la ecuación del movimiento nos da la distancia al punto de referencia que queramos de un objeto móvil, es decir, la longitud exacta de la base en cada instante.

MRUA

Si el lado móvil se mueve con una aceleración constante, la superficie se sustituiría en la expresión del flujo por:

$S=b\cdot(x_o+v_ot+\dfrac{1}{2}at^2)$

Donde b es el lado fijo de la espira (se ve en el dibujo), $x_o$ es la distancia a la que se encuentra el lado móvil inicialmente, $v_o$ es la velocidad inicial del lado móvil y $a$ es la aceleración. Si nos fijamos bien hemos sustituido la base por la ecuación del movimiento en un MRUA.

Ejercicio de fuerza electromotriz con una superficie variable (espira cuadrada). INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

Sea un campo magnético uniforme $\vec{B}=B_o\vec{k}T$ , con B_o = 0,3 T. En el plano xy, hay una espira rectangular cuyos lados miden, inicialmente, a=1m y b=0,5m. La varilla de longitud b se puede desplazar en la dirección del eje x, tal y como se ilustra en la figura.

Imagen del enunciado del ejercicio resuelto. Inducción electromagnética.

Determine, para t = 2 s, el flujo a través de la espira y la fuerza electromotriz inducida en la misma si:

a) La varilla se desplaza con velocidad constante de 3m/s.

b) Partiendo del reposo la varilla se desplaza con aceleración constante de 2m/s².

Solución

a) Para calcular el flujo en este caso se resuelve la integral y se sustituyen los valores en la integral.

En este caso tenemos un ejercicio en el que la superficie varía con el tiempo y el lado móvil se mueve con una velocidad constante, por lo que la superficie la obtenemos con la ecuación del movimiento de un MRU.

$\phi=\oint{\vec{B}\cdot{d}\vec{S}}=\vec{B}\cdot\vec{S}=B\cdot{S}\cdot\cos(\widehat{\vec{B},\vec{S}})$

El valor del coseno es uno al ser el vector campo y el vector superficie paralelos, por lo que sustituyendo en la expresión anterior el valor del coseno y la ecuación del MRU queda:

$\phi=B\cdot{b\cdot(a+vt)}=0'3T\cdot0'5m\cdot(1m+3m/s\cdot{t})=(0'15+0'45t)Wb$

Al sustituir el tiempo queda que el flujo sería:

$\phi(t=2s)=(0'15+0'45\cdot2)Wb=1'05Wb$

b) Para obtener la fuerza electromotriz inducida derivamos el flujo respecto del tiempo y sustituimos en $t=2s$ .

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=-0'45V$

En este caso como la FEM no depende del tiempo al sustituir nos sale el mismo resultado.

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=-0'45V$

Ejercicio de fuerza electromotriz con una superficie variable (espira triangular). INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

Se tiene el circuito de la figura en forma de triángulo rectángulo, formado por una barra conductora vertical que se desliza horizontalmente hacia la derecha con velocidad constante $v=2,3m/s$ sobre dos barras conductoras fijas que forman un ángulo $\alpha = 45º$ .

Perpendicular al plano del circuito hay un campo magnético uniforme y constante $B=0,5T$ cuyo sentido es entrante en el plano del papel. Si en el instante inicial t = 0 la barra se encuentra en el vértice izquierdo del circuito calcule la fuerza electromotriz inducida en el circuito en el instante de tiempo $t=15s$ .

Solución

Para calcular la fuerza electromotriz se obtiene el flujo de campo magnético en este ejercicio de inducción electromagnética.

$\phi=\oint{\vec{B}\cdot{d}\vec{S}}=\vec{B}\cdot\vec{S}=B\cdot{S}\cdot\cos(\widehat{\vec{B},\vec{S}})$

El campo es constante $B=0'5T$ y el ángulo que forman los dos vectores (campo y superficie) es 0º, mientras que la superficie es variable.

La superficie que hay que obtener es la de un triángulo rectángulo. Este triángulo rectángulo tiene un ángulo de 45º, por lo que el otro ángulo también va a ser de 45º para que la suma de los tres ángulos sea 180º (condición de la suma de los ángulos en un triángulo cualquiera). Esto hace que sea un triángulo rectángulo e isósceles y hace que sea mucho más sencillo calcular su área. Esto es porque solo será necesario obtener la ecuación que defina la longitud de un lado respecto del tiempo ya que la otra será igual. La expresión que define la longitud de un lado (puedes hacer cualquiera pero yo veo mucho mejor la base) será la ecuación del movimiento de un MRU.

$x=x_o+vt\longrightarrow\text{En este caso: }\longrightarrow{x}=vt$

Es importante recordar que el área de un triángulo es: $S=\dfrac{b\cdot{h}}{2}$

Si sustituimos en la expresión del área de un triángulo la base y la altura por la expresión de la longitud de los lados queda:

$S=\dfrac{v^2t^2}{2}$

Una vez obtenida esta expresión se introduce en el flujo.

$\phi=B\cdot{\dfrac{v^2t^2}{2}}\cdot\cos(0º)=0'5\cdot\dfrac{2'3^2t^2}{2}=1'32t^2Wb$

Derivamos y sustituimos por $t=15s$ .

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=-2'65tV$

$\varepsilon(t=15s)=-2'65\cdot15=-39'68V$

Variación del ángulo que forman los vectores campo magnético y superficie.

Estos problemas se basan en una espira circular o cuadrada que da vueltas en torno a su eje en un movimiento de rotación. La superficie y el campo van a ser constantes y simplemente se va a necesitar calcular el ángulo que forma la espira con el campo respecto del tiempo.

MCU.

Cuando la espira se mueve con una velocidad angular constante el ángulo girado dependiente del tiempo se va a obtener mediante la ecuación del movimiento de un MCU. Esto implica que tenemos que sustituir el ángulo formado entre los vectores $\vec{B}$ y $\vec{S}$ por:

$\widehat{\vec{B},\vec{S}}=\theta_o+\omega{t}$

Aquí $\theta_o$ es el ángulo inicial que tiene la espira y $\omega$ es la velocidad angular de la espira en rad/s.

MCUA.

Cuando la espira se mueve con una aceleración angular constante el ángulo girado dependiente del tiempo se va a obtener mediante la ecuación del movimiento de un MCUA. Esto implica que tenemos que sustituir el ángulo formado entre los vectores $\vec{B}$ y $\vec{S}$ por:

$\widehat{\vec{B},\vec{S}}=\theta_o+\omega_o{t}+\dfrac{1}{2}\alpha{t}^2$

Aquí $\theta_o$ es el ángulo inicial que tiene la espira, $\omega$ es la velocidad angular de la espira en rad/s y $\alpha$ es la aceleración angular en rad/s².

Ejercicio de fuerza electromotriz con un ángulo variable (MCU). INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

Una espira cuadrada, de lado a=10cm, está inmersa en una región del espacio en la que hay un campo magnético uniforme B_o=0,3T. Determine la fuerza electromotriz inducida si la espira gira con velocidad angular constante de 10 rpm respecto de un eje que pasa por su centro y es paralelo a dos de sus lados y el campo magnético es perpendicular al eje de giro.

Solución

Para calcular la fuerza electromotriz hay que obtener primero el flujo de campo magnético.

La espira se mueve con una velocidad angular constante, por lo que estamos en un ejercicio de variación del ángulo. Al ser constante la velocidad angular se utiliza la ecuación del movimiento de un MCU para expresar el ángulo, de forma que el flujo quedaría de la siguiente manera.

$\phi=\oint{\vec{B}\cdot{d}\vec{S}}=\vec{B}\cdot\vec{S}=B\cdot{S}\cdot\cos(\widehat{\vec{B},\vec{S}})$

$\phi=B\cdot{S}\cdot\cos(\widehat{\vec{B},\vec{S}})=B\cdot{a^2}\cdot\cos(\theta_o+\omega{t})$

Como el lado de la espira es a, la superficie será a², al ser una espira cuadrada. En este caso vamos a considerar que el ángulo inicial es cero y la velocidad angular es de 10rpm tal y como nos dice el enunciado, pero hay que expresarla en unidades del SI, es decir, en rad/s.

$10rpm=10\dfrac{vueltas}{min}\cdot\dfrac{2\pi{rad}}{1vuelta}\cdot\dfrac{1min}{60s}=\dfrac{\pi}{3}rad/s$

Una vez calculada la velocidad angular en rad/s se sustituyen los datos en la expresión del flujo.

$\phi=B\cdot{a^2}\cdot\cos(\theta_o+\omega{t})=0'3T\cdot{0'1^2m^2}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot{t}\right)$

$\phi=0'003\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot{t}\right)Wb$

Una vez obtenido el flujo se deriva para obtener la fuerza electromotriz.

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=0'003\cdot\dfrac{\pi}{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot{t}\right)V=\pi\cdot10^{-3}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot{t}\right)V$

Ejercicio de fuerza electromotriz con un ángulo variable (MCUA). INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

Una espira cuadrada, de lado a=10cm, está inmersa en una región del espacio en la que hay un campo magnético uniforme B_o=0,3T. Determine la fuerza electromotriz inducida si la espira gira con velocidad angular inicial de 10 rpm respecto de un eje que pasa por su centro y es paralelo a dos de sus lados y el campo magnético es perpendicular al eje de giro, mientras la espira acelera a razón de 3rad/s².

Solución

Para calcular la fuerza electromotriz hay que obtener primero el flujo de campo magnético.

La espira rota con una velocidad angular inicial y una aceleración angular, por lo que estamos en un ejercicio de variación del ángulo. Al NO ser constante la velocidad y depender de la aceleración angular se utiliza la ecuación del movimiento de un MCUA para expresar el ángulo, de forma que el flujo quedaría de la siguiente manera.

$\phi=\oint{\vec{B}\cdot{d}\vec{S}}=\vec{B}\cdot\vec{S}=B\cdot{S}\cdot\cos(\widehat{\vec{B},\vec{S}})$

$\phi=B\cdot{S}\cdot\cos(\widehat{\vec{B},\vec{S}})=B\cdot{a^2}\cdot\cos(\theta_o+\omega{t}+\dfrac{1}{2}\alpha{t}^2)$

Como el lado de la espira es a, la superficie será a², al ser una espira cuadrada. En este caso vamos a considerar que el ángulo inicial es cero. La velocidad angular inicial es de 10rpm tal y como nos dice el enunciado, pero hay que expresarla en unidades del SI, es decir, en rad/s. Por otro lado, la aceleración angular es de 3 rad/s².

$10rpm=10\dfrac{vueltas}{min}\cdot\dfrac{2\pi{rad}}{1vuelta}\cdot\dfrac{1min}{60s}=\dfrac{\pi}{3}rad/s$

Una vez calculada la velocidad angular en rad/s se sustituyen los datos en la expresión del flujo.

$\phi=B\cdot{a^2}\cdot\cos(\theta_o+\omega{t}+\dfrac{1}{2}\alpha{t^2})=0'3T\cdot{0'1^2m^2}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot{t}+\dfrac{1}{2}\cdot3t^2\right)$

$\phi=0'003\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot{t}+\dfrac{1}{2}\cdot3t^2\right)Wb$

Una vez obtenido el flujo se deriva para obtener la fuerza electromotriz.

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=0'003\left(\dfrac{\pi}{3}+3t\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot{t}\right)V$

$\varepsilon=(\pi+9t)\cdot10^{-3}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot{t}+\dfrac{1}{2}3t^2\right)V$

Ley de Ohm. Aplicación a los problemas de inducción.

La ley de Ohm se utiliza en el tema de inducción electromagnética para obtener la intensidad de corriente que circularía por la espira al producirse este fenómeno. Es importante recordar que la fuerza electromotriz o FEM es también la tensión o voltaje de un circuito. Esta ley se puede expresar de estas tres formas:

$\varepsilon=I\cdot{R}$

$I=\dfrac{\varepsilon}{R}$

$R=\dfrac{\varepsilon}{I}$

Dirección de la corriente inducida.

Hasta ahora solo habíamos hablado de la fuera electromotriz en forma de número con el que saber cuál es la tensión que se genera en un circuito, pero la tensión generadas induce una intensidad de corriente que tiene un sentido de circulación en el circuito.

Para calcular el sentido de la corriente inducida en un circuito se utiliza la regla de la mano derecha.

Se coloca el pulgar de la mano derecha en sentido contrario al campo magnético que genera la corriente inducida y se cierra la mano. El sentido de la corriente inducida es el sentido en el que se cierra la mano.

Ejercicio de aplicación de la ley de Ohm. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

Una varilla conductora desliza sin rozamiento con una velocidad de 0,2 m/s sobre unos raíles también conductores separados 2 cm, tal y como se indica en la figura. El sistema se encuentra en el seno de un campo magnético constante de 5 mT, perpendicular y entrante al plano definido por la varilla y los raíles. Sabiendo que la
resistencia del sistema es de 4 Ω, determine la intensidad y el sentido de la corriente eléctrica inducida.

Solución

Para la intensidad o corriente que cicrula por el circuito debido a la inducción electromagnética se tiene que calcular el flujo. En este caso se resuelve la integral y se sustituyen los valores en la integral.

En este ejercicio tenemos se ve que la superficie varía con el tiempo y el lado móvil se mueve con una velocidad constante, por lo que la superficie la obtenemos con la ecuación del movimiento de un MRU.

$\phi=\oint{\vec{B}\cdot{d}\vec{S}}=\vec{B}\cdot\vec{S}=B\cdot{S}\cdot\cos(\widehat{\vec{B},\vec{S}})$

El valor del coseno es uno al ser el vector campo y el vector superficie paralelos, por lo que sustituyendo en la expresión anterior el valor del coseno y la ecuación del MRU queda:

$\phi=B\cdot{b\cdot(vt)}=5\cdot10^{-3}T\cdot0'02m\cdot(0'2m/s\cdot{t})=2t\cdot10^{-5}\text{ }Wb$

Una vez que hemos obtenido el flujo, se deriva para obtener la fuerza electromotriz inducida.

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=-2\cdot10^{-5}V$

Como lo que nos pide en el enunciado es valor de la corriente inducida se aplica la ley de Ohm.

$I=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{-2\cdot10^{-5}V}{4\Omega}=-5\cdot10^{-6}A$

Por último, para obtener el sentido de la corriente inducida utilizamos la regla de la mano derecha colocando el pulga en sentido contrario al campo que genera la inducción electromagnética. El sentido de la corriente es el sentido en el que se cierra la mano, es decir, sentido antihorario en este caso.

$\text{}$