Movimiento de cargas en el campo magnético.

El siguiente punto en el estudio del magnetismo es el movimiento de cargas en el campo magnético.

Movimiento de cargas en el seno de un campo magnético.

Movimiento de cargas en el seno de dos campos: magnético y eléctrico.

Para poder entender cómo se combinan los campos magnético y eléctrico es importante haber repasado los conceptos de campo eléctrico.

Introducción al magnetismo.

Movimiento de cargas en un campo magnético.

Cuando una carga entra con una velocidad en una región en la que existe un campo magnético, la carga experimenta una fuerza magnética. Esta fuerza magnética provoca que exista una aceleración según la segunda ley de Newton, por lo que $F_T=m\cdot a$ .

Vamos a analizar el movimiento de una carga cuando se encuentra en el seno de un campo magnético y experimenta esa fuerza magnética.

Partamos del supuesto de tener una carga positiva que circula a una velocidad $\vec v=+v\vec{i}$ , es decir, en el sentido positivo del eje x en el seno de un campo magnético en el sentido positivo del eje z.

Movimiento de una carga en un campo magnético. La carga se desplaza con una velocidad dirigida en el sentido positivo del eje x apareciendo una fuerza magnética en el sentido negativo del eje y debida al campo magnético dirigido en el sentido positivo del eje z.

Velocidad eje x positivo.

Cuando la carga se mueve con una velocidad en el sentido positivo del eje x podemos obtener la fuerza magnética utilizando la ley de Lorentz y la regla de la mano derecha. Esta fuerza magnética es perpendicular a los vectores campo magnético y velocidad. En este caso si aplicamos la regla de la mano derecha en el caso de fuerza ejercida sobre una carga vemos que la fuerza magnética está dirigida en el sentido negativo del eje y.

La carga se desplaza con una velocidad dirigida en el sentido negativo del eje y apareciendo una fuerza magnética en el sentido negativo del eje x debida al campo magnético dirigido en el sentido positivo del eje z.

Velocidad eje y negativo.

La fuerza va modificando la velocidad de la carga hasta que se transforma en una velocidad dirigida en el sentido negativo del eje y. Cuando la carga adquiere esta velocidad, la fuerza magnética transforma su dirección y sentido hacia el sentido negativo del eje x (esto se obtiene con la regla de la mano derecha como en el anterior caso) haciendo que vuelva a transformarse la dirección y el sentido de la velocidad.

Se repite el proceso de la imagen anterior dando una fuerza magnética en la dirección positiva del eje y.

Velocidad eje x negativo.

La fuerza magnética va transformando la velocidad hasta que esta va en el sentido negativo del eje x. Cuando la carga está en esta posición y con esta velocidad sufre una fuerza magnética dirigida en el sentido positivo del eje y, volviendo a hacer que varíe la dirección de la velocidad.

Continuamos con el proceso viendo como la carga describe una trayectoria circular.

Velocidad eje y positivo.

Para finalizar, la velocidad ya ha adquirido la dirección positiva del eje y, por lo que la fuerza magnética tendrá (según la regla de la mano derecha) como dirección el eje x negativo. Esto hace que la velocidad vuelva a cambiar hasta llegar al primer paso que hemos estudiado en el que la dirección de la velocidad es positiva en el eje x.

Tras todo este análisis podemos ver como la carga describe un movimiento circular en el que la fuerza magnética está dirigida siempre hacia el centro, por lo que el movimiento que se describe es un MCU en el que la fuerza magnética es la fuerza normal o centrípeta que actúa en este movimiento, tal y como se puede observar en la animación que aparece a continuación uniendo las imágenes de este análisis.

Movimiento de una carga en el campo magnético. — Movimiento que describe una partícula de carga positiva cuando se encuentra en el seno de un campo magnético.

Es importante especificar que cuando la carga es negativa lo único que cambia es el sentido de giro. Una carga positiva describe un giro en sentido horario y una carga negativa describe un giro en el sentido antihorario.

Si igualamos en módulo estas dos fuerzas podemos obtener las siguientes características de este movimiento.

Radio de la circunferencia que se describe en el movimiento de cargas en el campo magnético.

$F_m=F_n$

$qvB=m\dfrac{v^2}{r}$

$qB=m\dfrac{v}{r}$

$r=\dfrac{mv}{qB}$

Periodo del movimiento de cargas en el campo magnético.

$F_m=F_n$

$qvB=m\dfrac{v^2}{r}$

$qB=m\dfrac{v}{r}$

El periodo en un movimiento se define por la siguiente expresión.

$T=\dfrac{2\pi r}{v}\longrightarrow \dfrac{v}{r}=\dfrac{2\pi}{T}$

Si el periodo se introduce en la igualdad entre fuerza magnética y fuerza normal o centrípeta se obtiene:

$qB=m\dfrac{2\pi}{T}$

$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$

Ejercicio resuelto del movimiento de una carga en el seno de un campo magnético.

Un positrón, partícula idéntica al electrón pero con carga positiva, es acelerado mediante una diferencia de potencial $\Delta V$ para posteriormente introducirse en una región del espacio en la que hay un campo magnético $B = 5 \mu T$ perpendicular a la velocidad del positrón. Sabiendo que el radio de la órbita circular que describe el positrón es 50 cm, obtenga:

a) El valor de la diferencia de potencial $\Delta V$ utilizada para acelerar el positrón.

b) El valor de la frecuencia angular de giro del positrón en dicha órbita.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e =1'6\cdot10^{-19} C$ ; Masa del electrón, $m_e =9'1\cdot10^{-31} kg$ .

Solución

Lo primero, como siempre, es dibujar la situación con los datos que nos aporta el enunciado.

En este imagen hay dos regiones, una con campo magnético y otra con eléctrico. Movimiento de cargas en el campo magnético.

Una vez que tenemos hecho el dibujo vemos como hay una región anterior a la otra en la que el positrón se encuentra con el campo magnético (las cruces). En dicha región el positrón acelera hasta alcanzar la velocidad necesaria para describir una circunferencia de 50 cm de radio. Para calcular el valor de la diferencia de potencial existente en esta región se calcula primero la velocidad con la ley de Lorentz igualada a la fuerza normal.

$F_m=F_n$

$qvB=m\dfrac{v^2}{r}$

$v=\dfrac{qBr}{m}\longrightarrow{v}=\dfrac{1'6\cdot10^{-19} C\cdot5\cdot10^{-6}T\cdot0'5m}{9'1\cdot10^{-31} kg}=4'4\cdot10^5m/s$

Una vez que tenemos el valor de la velocidad con la que entra el positrón en la segunda región pasamos a utilizar la conservación de la energía mecánica del campo eléctrico dado que en la primera región solo existe campo eléctrico.

$\Delta{E_m}=0\longrightarrow\Delta{E_p}=\Delta{E_c}$

$-q\Delta{V}=-\dfrac{1}{2}mv^2\longrightarrow\Delta{V}=\dfrac{mv^2}{2q}$

$\Delta{V}=\dfrac{9'1\cdot10^{-31} kg\cdot(4'4\cdot10^5m/s)^2}{2\cdot1'6\cdot10^{-19} C}=0'55V$

Movimiento de cargas en el seno de dos campos: magnético y eléctrico.

Cuando una carga está en presencia de dos campos, uno eléctrico y otro magnético es necesario hacer un análisis de las fuerzas que actúan sobre esta carga.

Es muy importante tener en cuenta que para que se produzcan tanto una fuerza magnética como una fuerza eléctrica debe existir una partícula o cuerpo con carga y solo si está en movimiento experimentará una fuerza magnética.

Teniendo en cuenta estos dos principios hay múltiples aplicaciones que vamos a tratar.

Para resolver estos ejercicios tenemos que utilizar las siguientes expresiones principalmente, aunque puedan aparecer otras como consecuencia del movimiento.

$\vec{F_e}=q\vec{E}\longrightarrow F_e=q\cdot E$

$\vec{F_m}=q\cdot(\vec{v}\times\vec{B})\longrightarrow F_m=qvB\sin(\widehat{\vec{v},\vec{B}})$

Ejercicio resuelto del movimiento de una carga en el seno de dos campos.

Un electrón se desplaza con una velocidad $\vec v=5\vec i m/s$ en el seno de un campo
eléctrico definido por la expresión $\vec E=-100\vec j V/m$ . Determine:

a) El campo magnético necesario, contenido en el plano YZ, para mantener al electrón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme.

b) El radio de giro que tendría dicho electrón en una región donde solamente existiera el campo
magnético del apartado anterior.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1'60\cdot10^{-19} C$ ; Masa del electrón, $m_e = 9'1\cdot10^{-31}kg$ .

Solución

Lo primero, como siempre, es dibujar la situación con los datos que nos aporta el enunciado.

Movimiento de una carga en el seno de dos campos. Ejercicio resuelto.

a) Para obtener el vector campo magnético es necesario calcular por separado el módulo, por un lado, y, por el otro, la dirección y el sentido.

El módulo del campo magnético se obtiene fácilmente igualando los módulos de la fuerza eléctrica y magnética.

$F_e=F_m\longrightarrow{q}\cdot{E}=q\cdot v\cdot{B}$

$B=\dfrac{E}{v}=\dfrac{100N/C}{5m/s}=20T$

Por otro lado, la dirección y el sentido de este campo magnético se obtienen siguiendo la regla de la mano derecha y recordando siempre que le carga es negativa, por lo que nos va a cambiar el sentido de ambas fuerzas.

La fuerza eléctrica va a tener sentido positivo del eje y, mientras que la fuerza magnética tiene que tener la misma dirección pero el sentido contrario para que se anulen. Esto último hace que, según la regla de la mano derecha, el campo vaya en el sentido negativo del eje z, es decir, $-\vec k$

b) Para calcular el radio de giro es conveniente demostrar la fórmula tal y como aparece en la parte de teoría. Para demostrarla se igualan los módulos de la fuerza magnética y la fuerza normal.

$F_m=F_n$

$qvB=m\dfrac{v^2}{r}$

$r=\dfrac{mv}{qB}\longrightarrow{r}=\dfrac{ 9'1\cdot10^{-31}kg\cdot{5}m/s}{1'60\cdot10^{-19}C\cdot20T}=1'42\cdot10^{-12}m$