Matriz inversa. Definición y método de Gauss-Jordan.

Una de las cosas más útiles y más importantes dentro del mundo de las matrices es la matriz inversa. Estas matrices se utilizan en ecuaciones y sistemas con matrices para poder despejar las incógnitas e incluso se pueden utilizar en los sistemas de ecuaciones lineales de toda la vida para resolverlos. Déjame explicarte lo primero qué es esto de la matriz inversa.

¿Qué es la matriz inversa?

Si tenemos una matriz $A$ la matriz inversa de $A$ se escribe como $A^{-1}$ y es aquella que cumple que:

$A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=I$

Para que una matriz tenga inversa tiene que ser cuadrada. Si una matriz que tiene inversa se dice que es invertible o regular y si no tiene se dice que es singular. Si la matriz traspuesta es la misma que la matriz inversa se dice que la matriz es ortogonal.

$A^t=A^{-1}$

Propiedades.

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(A^{-1})^{-1}=A$
$(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$

Cómo calcular la matriz inversa por definición.

Existen distintos métodos para calcular la matriz inversa de otra. El primero que vamos a ver es el método por definición.

Este método no es mi favorito, pero es muy útil para matrices de orden 2. Este consiste en resolver sistemas de ecuaciones.

Supongamos que queremos obtener la matriz inversa de esta matriz:

$\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}$

Para ello vamos a utilizar la definición de matriz inversa.

$A\cdot A^{-1}=I$

Vamos a suponer que la matriz inversa es una matriz de este tipo:

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

Tras esto operamos.

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}a+2c&b+2d\\-a+3c&-b+3d\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}a+2c&b+2d\\-a+3c&-b+3d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Al igualar las matrices obtenemos estos dos sistemas.

$\left\{ \begin{matrix} a+2c=1\\-a+3c=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{ \begin{matrix} b+2d=0\\-b+3d=1 \end{matrix}\right.$

Al resolver los sistemas tenemos que:

$\left\{\begin{matrix}a=3/5\\b=-2/5\\ c=1/5\\ d=1/5\end{matrix}\right.$

Esto significa que la matriz inversa queda de esta forma:

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 3/5 & -2/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$

Este método solo lo recomiendo para matrices pequeñas de orden 2, dado que con matrices más grandes hay que resolver sistemas más grandes y con más incógnitas. Esto hace que se complique la obtención de nuestra matriz inversa.

Ejemplo con matrices de orden 3

$A=\begin{pmatrix} 1& 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A\cdot A^{-1}=$

$=\begin{pmatrix} 1& 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} a+g & b+h & c+i \\ d-g & e-h & f-i \\ g & h & i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{matrix} a+g=1 \\ d-g=0 \\ g=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} b+h=0 \\ e-h=1 \\ h=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{ \begin{matrix} c+i=1 \\ f-i=0 \\ i=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a=1 \\ d=0 \\ g=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} b=0 \\ e=1 \\ h=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}c=-1\\ f=1 \\ i=1 \end{matrix}\right.$

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$

Cómo calcular la inversa por el método de Gauss-Jordan.

Otro método que existe para obtener la matriz inversa es el método de Gauss-Jordan. Este método consiste en poner la matriz que queremos invertir seguida de la matriz identidad separadas por una línea recta y transformar la primera en la identidad con combinaciones entre filas y columnas. La matriz inversa será la matriz que nos de a la derecha cuando terminemos.

Pongamos que queremos invertir la matriz:

$A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&-5&3\\1&0&0\end{pmatrix}$

Para empezar colocamos la matriz $A$ seguida de la matriz identidad $I_3$ en este caso.

$\left(\begin{aligned}\begin{matrix}1&2&-1\\0&-5&3\\1&0&0\end{matrix}\left| \begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right.\end{aligned}\right)$

Cómo queremos transformar la matriz de izquierda en la matriz identidad vamos a hacer ceros en los elementos de la primera columna filas dos y tres. Para tengo que hacer las siguientes operaciones:

$\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-5&3\\1&0&0\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right.\right)\begin{matrix}\\\\\rightarrow F_3=F_3-F_1\rightarrow \end{matrix}\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-5&3\\0&-2&1\end{matrix} \left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{matrix} \right.\right)$

Tras esto hacemos combinamos las filas dos y tres para obtener un cero en el elemento de la matriz izquierda de la fila tres columna dos.

$\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-5&3\\0&-2&1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{matrix}\right.\right)\begin{matrix}\\\\\rightarrow F_3=5F_3-2F_2\rightarrow\end{matrix}\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-5&3\\0&0&-1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-5&-2&5\end{matrix} \right.\right)$

Ahora vamos a buscar hacer ceros en la tercera columna filas uno y dos.

$\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-5&3\\0&0&-1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-5&-2&5\end{matrix}\right.\right)\begin{matrix}\rightarrow F_1=F_1-2F_3\rightarrow\\\rightarrow F_2=F_2+3F_3\rightarrow\\\end{matrix}\left(\begin{matrix}1&2&0\\0&-5&0\\0&0&-1\end{matrix}\left|\begin{matrix}6&2&-5\\-15&-5&15\\-5&-2&5\end{matrix}\right.\right)$

Buscamos hacer cero el elemento de la primera fila segunda columna.

$\left(\begin{matrix}1&2&0\\0&-5&0\\0&0&-1\end{matrix}\left|\begin{matrix}6&2&-5\\-15&-5&15\\-5&-2&5\end{matrix}\right.\right)\begin{matrix}\rightarrow F_1=5F_1+2F_2\rightarrow\\\text{ }\\\text{ }\end{matrix}\left(\begin{matrix}5&0&0\\0&-5&0\\0&0&-1\end{matrix}\left|\begin{matrix}0&0&5\\-15&-5&15\\-5&-2&5\end{matrix}\right.\right)$

Una vez que hemos hecho todo ceros menos en la diagonal principal tenemos que poner unos en la diagonal principal dividiendo o multiplicando las filas.

$\left(\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 0 & 0 & -5 \\ -15 & -5 & 15 \\ -5 & -2 & 5 \end{matrix} \right.\right) \begin{matrix} \rightarrow F_1=\dfrac{1}{5}F_1 \rightarrow\\ \rightarrow F_2=-\dfrac{1}{5}F_2\rightarrow\\ \rightarrow F_3=-F_3\rightarrow\end{matrix} \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \\ 5 & 2 & -5 \end{matrix} \right.\right)$